Électrotechnique I

Sources

• Électrotechnique : Base de l’électricité, Marcel Jufer et Yves Perriard.

Notes du cours d’Électrotechnique I donné à l’EPFL pendant l’automne 2025.

Définitions élémentaires

• Conducteur : permet aux charges de se déplacer
• Isolant : ne permet pas le déplacement des charges (≠ conducteur sans charge)
• Semi-conducteur : isolant puis parfois conducteur grâce au dopage
• Circuit ouvert : pas de courant
• Circuit fermé : courant dans un sens unique
• Court-circuit : $R = 0$
• Circuit ouvert : $R \to \infty$

Grandeurs :

• Courant (intensité) : débit de charge par unité de temps

$i(t) = \frac{dq}{dt} \quad [\text{Ampère, A}]$

• Différence de potentiel / tension :

$U_{AB} = U_A - U_B \quad [\text{Volt, V}] = [\text{kg m}^2 \text{s}^{-3} \text{A}^{-1}]$

Le courant va de A vers B dans le sens de la tension.

• Charge électrique : $1 \text{ A·s} = 1 \text{ coulomb}$, soit $6{,}24 \cdot 10^{19}$ électrons
• Sens du courant : sens de déplacement des charges positives, donc opposé à celui des électrons

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Sources idéales

• Source idéale de tension : délivre une tension $u$ continue et indépendante du courant $i$
• Source idéale de courant : délivre un courant $i$ continu et indépendant de la tension $u$

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Résistance

$R = \rho \frac{l}{S} \quad [\Omega = \text{V/A}]$

avec $\rho$ la résistivité, $l$ la longueur et $S$ la section.

Conductance :

$G = \frac{1}{R} \quad [\text{Siemens, S} = \text{A/V}]$

Loi d’Ohm :

$u(t) = R \cdot i(t)$

Puissance instantanée (effet Joule) :

$p(t) = u(t) \cdot i(t) = R \cdot i^2(t) = \frac{u^2(t)}{R} \quad [\text{W}]$

Énergie (perte Joule) :

$W(t) = \int_0^t p(\tau)\, d\tau$

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Capacité

Accumulation de charges entre deux plaques sous l’effet d’une différence de potentiel. Équivalent à un circuit ouvert en régime continu.

$Q = C \cdot U_{AB} \quad [\text{Farad, F} = \text{A·s/V}]$

$q(t) = C \cdot u(t) \implies i(t) = C \frac{du}{dt}$

Énergie stockée :

$W_C(t) = \frac{1}{2} C u^2(t)$

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Inductance

Lisse le courant. Accumule de l’énergie électromagnétique. Équivalent à un court-circuit en régime continu.

$\Phi_\text{tot}(t) = N \Phi_0 = L \cdot i(t) \quad [\text{V·m}]$

Flux total = nombre de spires × flux par spire = inductance × intensité.

$u(t) = \frac{d\Phi_0}{dt} = L \frac{di}{dt} \quad [\text{Henry, H} = \text{V·s/A}]$

$u(t) = 0 \implies i(t) = \text{cst}$

Énergie stockée :

$W_L(t) = \frac{1}{2} L i^2(t)$

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Nœuds, Branches, Mailles

• Nœud : convergence de trois conducteurs ou plus
• Branche : relie deux nœuds, traversée par un seul courant
• Maille : ensemble de branches formant un chemin fermé depuis un nœud sans passer deux fois par la même branche

Lois de Kirchhoff :

Loi des nœuds :

$\sum_{k=1}^{N} I_k = 0$

Courants entrants $(+)$ = courants sortants $(-)$

Loi des mailles :

$\sum_{k=1}^{M} U_k = 0$

Tensions dans le sens horaire $(+)$ = tensions dans le sens anti-horaire $(-)$

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Éléments en série et en parallèle

Série — même courant, tensions qui s’additionnent :

Élément	Série
Résistance	$R_s = \displaystyle\sum_{i=1}^n R_i$
Inductance	$L_s = \displaystyle\sum_{i=1}^n L_i$
Capacité	$\dfrac{1}{C_s} = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{C_i}$
Source de tension	$u_s = \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i$

Parallèle — même tension, courants qui s’additionnent :

Élément	Parallèle
Résistance	$\dfrac{1}{R_p} = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{R_i}$
Inductance	$\dfrac{1}{L_p} = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{L_i}$
Capacité	$C_p = \displaystyle\sum_{i=1}^n C_i$
Source de courant	$i_p = \displaystyle\sum_{i=1}^n i_i$

Pour deux résistances en parallèle :

$R_p = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

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Diviseurs

Diviseur de tension — connaître la tension dans une branche $k$ :

$u_k = R_k \cdot i = R_k \cdot \frac{u}{R_\text{tot}}$

Diviseur de courant — connaître le courant dans une branche $k$ :

$i_k = u \cdot \frac{1}{R_k} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot i$

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Équivalence source de tension – source de courant

Une source de tension $u_0$ en série avec $R_0$ est équivalente à une source de courant $i_0$ en parallèle avec $R_0$ :

$u_0 \updownarrow i_0, \qquad u_0 = i_0 \cdot R_0, \qquad \text{série} \Longleftrightarrow \text{parallèle}$

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Superposition

Dans un circuit linéaire, les courants et tensions sont la somme des contributions de chaque source prise séparément.

• Annuler une source de tension $\implies$ court-circuit
• Annuler une source de courant $\implies$ circuit ouvert

Les contributions de chaque source ne doivent pas être modifiées pendant le calcul de l’autre.

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Théorème de Thévenin

Remplacer un circuit complexe par une source de tension $u_0$ en série avec une résistance $R_i$.

$u = u_0 \cdot \frac{R}{R + R_i}$

Procédure :

1. Identifier $R$, puis les bornes $a$ et $b$, et ouvrir la branche
2. Calculer la tension $u_{ab}$ pour obtenir $u_0$
3. Annuler toutes les sources puis calculer la résistance équivalente pour obtenir $R_i$

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Théorème de Norton

Remplacer un circuit complexe par une source de courant $i_0$ en parallèle avec une résistance $R_i$.

$i = i_0 \cdot \frac{R_i}{R + R_i}$

Procédure :

1. Identifier $R$, puis les bornes $a$ et $b$
2. Court-circuiter $a$ et $b$ puis calculer $i_{ab} = i_0$
3. Ouvrir $R$, annuler les sources puis calculer $R_i$

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Nombres complexes & Phaseurs

Rappel nombres complexes

$\underline{z} = a + jb = r(\cos\theta + j\sin\theta) = re^{j\theta}$

$r = |\underline{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \theta = \arg(\underline{z}) = \arctan\frac{b}{a}$

$j = \sqrt{-1}, \quad j^2 = -1, \quad j^3 = -j, \quad j^4 = 1$

Conjugué :

$\underline{z}^* = a - jb = re^{-j\theta}$

Formule d’Euler :

$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta, \qquad e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta$

$\cos\theta = \frac{1}{2}(e^{j\theta} + e^{-j\theta}), \qquad \sin\theta = \frac{1}{2j}(e^{j\theta} - e^{-j\theta})$

Valeurs particulières :

$e^{jk2\pi} = 1, \quad e^{j(\pi + k2\pi)} = -1, \quad e^{j(\pi/2 + k2\pi)} = j, \quad e^{j(-\pi/2 + k2\pi)} = -j$

Opérations en forme exponentielle :

$\underline{z}_1 \cdot \underline{z}_2 = r_1 r_2 \, e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$

$\frac{\underline{z}_1}{\underline{z}_2} = \frac{r_1}{r_2} \, e^{j(\theta_1 - \theta_2)}, \qquad \underline{z}^{-1} = \frac{1}{r} e^{-j\theta}$

Dérivation / intégration :

$\frac{d\underline{z}}{d\theta} = r e^{j(\theta + \pi/2)}, \qquad \int \underline{z}\, d\theta = r e^{j(\theta - \pi/2)}$

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Phaseur

Moyen simple de représenter $u$ et $i$ sinusoïdaux. Ne dépend pas du temps. Basé sur la formule d’Euler.

Phaseur complexe de valeur de crête :

$\hat{\underline{x}} = \hat{x} \, e^{j\alpha} = \sqrt{2}\, x \, e^{j\alpha}$

Phaseur efficace complexe :

$\underline{x} = x \, e^{j\alpha}$

Relations tension / courant :

$\underline{U} = U e^{j\alpha}, \qquad u(t) = \sqrt{2}\, U \cos(\omega t + \alpha) = \text{Re}\!\left\{\sqrt{2}\, \underline{U} \, e^{j\omega t}\right\}$

$\underline{I} = I e^{j\beta}, \qquad i(t) = \sqrt{2}\, I \cos(\omega t + \beta) = \text{Re}\!\left\{\sqrt{2}\, \underline{I} \, e^{j\omega t}\right\}$

Déphasage tension / courant :

$\varphi = \alpha - \beta$

Opérations sur les phaseurs :

$\frac{d\underline{X}}{dt} = j\omega\, \underline{X}, \qquad \frac{d^n}{dt^n} = (j\omega)^n \underline{X}, \qquad \int \underline{X}\, dt = \frac{1}{j\omega}\, \underline{X}$

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Circuit sinusoïdal monophasé

Fonctions périodiques

$x(t) = x(t + nT), \quad n \in \mathbb{Z}$

• $\hat{x}$ : valeur de crête
• $T$ : période en secondes
• $\bar{x}$ : valeur moyenne
• $x$ : valeur efficace

$\bar{x} = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int x(t)\, dt, \qquad x = \sqrt{\dfrac{1}{T} \displaystyle\int x^2(t)\, dt}$

Sinus :

$x(t) = A\sin(\omega t + \alpha)$

$\omega = \frac{2\pi}{T} \; [\text{rad·s}^{-1}], \quad f = \frac{1}{T} \; [\text{Hz}]$

$\bar{x} = 0, \quad x = \frac{A}{\sqrt{2}}$

Avance / retard de phase :

• avance : $\alpha_2 - \alpha_1 > 0$
• retard : $\alpha_1 - \alpha_2 > 0$

Tension et courant sinusoïdaux :

$u(t) = \hat{U}\cos(\omega t + \alpha) = \sqrt{2}\, U \cos(\omega t + \alpha)$

$i(t) = \hat{I}\cos(\omega t + \beta) = \sqrt{2}\, I \cos(\omega t + \beta)$

Dérivée :

$\dfrac{d}{dt}[A\sin(\omega t + \alpha)] = A\omega\cos(\omega t + \alpha)$

Intégrale :

$\displaystyle\int A\sin(\omega t+\alpha)\,dt = -\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t+\alpha)$

Somme :

$\sin(\omega t + \alpha) + \sin(\omega t + \beta) = 2\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\!\left(\omega t + \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

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Impédance complexe

Analogue à la résistance en régime sinusoïdal.

$\underline{Z} = \frac{\underline{u}(t)}{\underline{i}(t)} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = Z e^{j\varphi} \quad [\Omega]$

$\underline{Z} = R + jX \quad \text{avec} \quad Z = \sqrt{R^2 + X^2}, \quad \varphi = \arctan\frac{X}{R}$

• $R = \text{Re}(\underline{Z}) = Z\cos\varphi$ : résistance
• $X = \text{Im}(\underline{Z}) = Z\sin\varphi$ : réactance

Loi d’Ohm en phaseurs :

$\underline{U} = \underline{Z}\, \underline{I}$

Admittance complexe :

$\underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} = \frac{\underline{I}}{\underline{U}} = Y e^{-j\varphi} \quad [\text{S}]$

$\underline{Y} = G + jB \quad \text{avec} \quad Y = \sqrt{G^2+B^2}, \quad \varphi = \arctan\!\left(-\frac{B}{G}\right)$

• $G = \text{Re}(\underline{Y}) = Y\cos\varphi$ : conductance
• $B = \text{Im}(\underline{Y}) = -Y\sin\varphi$ : susceptance

Impédances des composants

	Résistance	Inductance	Capacité
$\underline{Z}$	$R$	$j\omega L$	$\dfrac{1}{j\omega C}$
$Z$ (module)	$R$	$\omega L$	$\dfrac{1}{\omega C}$
$\varphi$	$0$	$+\dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}$
$\underline{Y}$	$\dfrac{1}{R} = G$	$\dfrac{1}{j\omega L}$	$j\omega C$
$R_\text{eq}$	$R$	$0$	$0$
$X_\text{eq}$	$0$	$\omega L$	$-\dfrac{1}{\omega C}$
$G_\text{eq}$	$\dfrac{1}{R}$	$0$	$0$
$B_\text{eq}$	$0$	$-\dfrac{1}{\omega L}$	$\omega C$

Impédances en série et en parallèle

$\underline{Z}_s = \sum_k \underline{Z}_k, \qquad \underline{Y}_p = \sum_k \underline{Y}_k$

Lois de Kirchhoff en phaseurs :

$\sum_k \underline{I}_k = 0, \qquad \sum_l \underline{U}_l = 0$

Diviseur de tension complexe :

$\underline{U}_1 = \frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\, \underline{U}, \qquad \underline{U}_2 = \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\, \underline{U}$

Diviseur de courant complexe :

$\underline{I}_1 = \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\, \underline{I}, \qquad \underline{I}_2 = \frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\, \underline{I}$

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Puissance en régime sinusoïdal

Puissance instantanée :

$p(t) = u(t) \cdot i(t) = UI\cos\varphi \left[1 + \cos(2\omega t + 2\alpha)\right] + UI\sin\varphi \cdot \sin(2\omega t + 2\alpha)$

Valeur max = $UI$

Puissance active $P$ — valeur moyenne de $p(t)$, énergie convertible en travail ou chaleur :

$P = \frac{1}{T}\int_0^T p(t)\,dt = UI\cos\varphi \quad [\text{W}]$

Puissance réactive $Q$ — amplitude de la composante alternative, énergie non convertible :

$Q = UI\sin\varphi \quad [\text{VAR}]$

Puissance apparente $S$ :

$S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2} \quad [\text{VA}]$

Puissance complexe $\underline{S}$ :

$\underline{S} = P + jQ = \underline{U}\,\underline{I}^* = UI e^{j\varphi}$

Avec l’impédance :

$P = RI^2, \qquad Q = XI^2$

Avec l’admittance :

$P = GU^2, \qquad Q = -BU^2$

Facteur de puissance :

$\cos\varphi = \frac{P}{S} \in [0, 1]$

• $\cos\varphi \to 1$ : cas résistif
• $\cos\varphi \to 0$ : cas inductif ou capacitif

Correction du facteur de puissance :

Objectif : $UI\cos\varphi \to UI$, donc annuler autant que possible la puissance réactive en ajoutant des condensateurs.

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