Analysis I

Sources

• Calcul différentiel et intégral, Jacques Douchet.

Synthese des notes du cours Analysis I donne a l’EPFL pendant l’automne 2024.

Chap I — $\mathbb{R}$

Sup / Inf

• Max : le + grand, $\exists x$ d’office

• Min : le + petit, $\exists$ min

• Majorant : + grand que tout l’ensemble

• Minorant : + petit

• borne : les deux

• Sup : + petit majorant

• Inf : + grand minorant

• si $\exists$ Max $\Rightarrow$ Sup = Max ; si $\exists$ Min $\Rightarrow$ Inf = Min

• $\nexists$ Maj $\Rightarrow$ Sup $A := +\infty$ ; $\nexists$ Min $\Rightarrow$ Inf $A := -\infty$

Axiome : $\forall A \neq \emptyset$, majore $\Rightarrow \exists$ Sup $A$ ; minore $\Rightarrow \exists$ Inf $A$

Symboles

• $\mathbb{R}^+$, $\mathbb{R}^-$, $\mathbb{R}^*$, $[0;+\infty[$, $]-\infty;0[$
• intervalles : $[\;]$, $]\;[$, $[\;[$, $]\;]$
• $\lfloor x \rfloor$ = le + grand $n \in \mathbb{Z}$ t.q. $n \leq x$

$\sqrt{2}$

$\exists x$ t.q. $x^2 = 2$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $x^n = y$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$ : $\exists$ une seule $\sqrt[n]{y} = x$, i.e. $\sqrt{y} \geq 0$

Densite

“dense dans $\mathbb{R}$” : $\forall x > y$, $y \in \mathbb{R}$, $\exists z \in \mathbb{R}$ t.q. $x > z > y$

• $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$
• $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$
• $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$

Valeur absolue et distance

$|x|, \quad |x_1 - x_2| = \text{dist}(x_1, x_2)$

Prop — inegalite triangulaire : $|x + y| \leq |x| + |y|$

Ensemble ouvert / ferme

• ouvert : $\exists$ toujours un nombre avant et apres chaque nombre — $\forall x \in A$, $\exists \varepsilon > 0$ t.q. $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \;\subset A$
• ferme : complementaire ouvert — $G^c := \mathbb{R} \setminus G$
• $G : A + B \Rightarrow$ ouvert ; ferme $\Leftrightarrow$ ferme $\uparrow$

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Chap II — Nombres complexes $\mathbb{C}$

Definitions

$z = a + bi = (a;\, b), \quad a, b \in \mathbb{R}$

• $\bar{z} := a - bi$
• $|z| := \sqrt{a^2 + b^2}$
• $\text{Re}(z) := a = \dfrac{z + \bar{z}}{2}$
• $\text{Im}(z) := b = \dfrac{z - \bar{z}}{2i}$

Operations

$z + z' = (a+a';\; b+b')$ $z \cdot z' = (aa' - bb';\; ab' + a'b)$

Forme polaire

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \quad a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$

• $\text{Arg}(z) = \theta$
• $\text{Arg}(\bar{z}) = -\text{Arg}(z)$
• $\text{Arg}(z \cdot z') = \text{Arg}(z) + \text{Arg}(z')$
• $\text{Arg}(z^n) = n\,\text{Arg}(z)$
• $\tan\theta = b/a$, $\forall a \neq 0$

Forme exponentielle

$e^z = e^{\text{Re}(z)}\bigl(\cos(\text{Im}(z)) + i\sin(\text{Im}(z))\bigr)$

• $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$, $\;\text{Arg}(e^z) = \text{Im}(z)$
• forme exp/polaire : $r e^{i\theta}$
• nombres purement imaginaires : $e^{iy} = \cos y + i\sin y$

Formule de Moivre : $z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r^n e^{in\theta}$, $\forall n \geq 2$

Identites :

• $e^{i\pi} + 1 = 0$
• $e^{i\pi/2} = i$
• $e^{i2k\pi} = 1$, $\forall k \in \mathbb{Z}$
• $\forall \omega \in \mathbb{C}$ ($|\omega| = r$, $\text{Arg}(\omega) = \theta$) : $z \cdot \omega$ tourne $z$ d’un angle $\theta$ puis le multiplie par le module $r$

Plan complexe

$\text{Im}$ (axe vertical), $\text{Re}$ (axe horizontal), $|z|$ = distance a l’origine, $\theta$ = argument

Polynomes a coefficients reels

$P(z)$ avec $a_k \in \mathbb{R}$ $\forall k$ $\Rightarrow$ $P(\bar{z}) = \overline{P(z)}$ ; $P(z^*) = 0 \Rightarrow P(\bar{z}^*) = 0$

Thm fondamental de l’algebre

$P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_n z^n$, $z^* \in \mathbb{C}$ t.q. $P(z^*) = 0$ = racine

Thm : dans $\mathbb{C}$, tout $P$ avec $n \geq 1$ possede au moins une racine.

Division euclidienne : $P(z)$ avec $n \geq 1$, $z_0 \in \mathbb{C}$ fixe $\Rightarrow \exists Q(z)$ avec $\deg = n-1$ t.q. :

$P(z) = (z - z_0)Q(z) + P(z_0), \quad \forall z \in \mathbb{C}$

Thm : dans $\mathbb{C}$, tout $P$ avec $n \geq 1$ possede $n$ racines :

$\exists z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C} \text{ t.q. } P(z_k) = 0 \;\forall k, \quad P(z) = a_n(z-z_1)\cdots(z-z_n)$

→ racines pas necessairement distinctes $\Rightarrow$ $(z - z_i)^\alpha$

Si $P$, $n = 2k+1$, $a_k \in \mathbb{R}$ $\forall k$ $\Rightarrow$ au moins 1 racine reelle

→ tout $P(z)$ a coeff $\mathbb{R}$ se factorise en produit de polynomes de degre 1 ou 2 irreductibles a coeff $\mathbb{R}$

FAC : trouver $z$ par tatonnement $\rightarrow$ div. euclidienne $\rightarrow$ recommencer.

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Chap III — Suites

Definitions

$(a_n)$, $n \geq n_0$

• croissante : $a_n \leq a_{n+1}$ $\forall n$
• decroissante : $a_n \geq a_{n+1}$ $\forall n$
• monotone si un des deux
• convergente : $\exists L$
• divergente : $\nexists L$ ($L := \pm\infty$)
• majoree : $\exists$ cst $M$ t.q. $a_n \leq M$ $\forall n$ ; minoree : $\exists m$ ; bornee : les deux

Limite

Tend vers $L$ : $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ : $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ t.q. $|a_n - L| \leq \varepsilon$ $\forall n \geq N$

• si $\exists L$ $\Rightarrow$ unique
• $a_n$ converge $\Rightarrow$ $a_n$ bornee
• $a_n \to L$ $\Rightarrow$ $|a_n| \to |L|$
• operat : $\lim(a_n + b_n) = \lim a_n + \lim b_n$ ; $\lim(a_n \cdot b_n) = \lim a_n \cdot \lim b_n$ ; $a_n \geq b_n$ $\Rightarrow$ $\lim a_n \geq \lim b_n$ ($\forall n$ suff. gd)

$a_n \to +\infty$ : $\forall M > 0$, $\exists N \in \mathbb{Z}$ t.q. $a_n \geq M$ $\forall n \geq N$

Si $a_n \to \infty$ :

• $-1/a_n \to 0$
• $b_n \to +\infty$ $\Rightarrow$ $a_n \cdot b_n \to +\infty$
• $b_n$ bornee $\Rightarrow$ $b_n/a_n \to 0$
• $b_n \geq \delta > 0$ $\forall n$ suff. gd $\Rightarrow$ $a_n \cdot b_n \to +\infty$

Limite sup / inf

$M_n := \sup\{a_n, a_{n+1}, \ldots\} \text{ (decroissante)}, \quad m_n := \inf\{a_n, a_{n+1}, \ldots\} \text{ (croissante)}$

$m_n \leq a_n \leq M_n$

$\limsup a_n := \lim M_n, \quad \liminf a_n := \lim m_n$

$\lim a_n = L \Leftrightarrow \limsup a_n = \liminf a_n = L$

Serie geometrique

$S_n := 1 + \lambda + \lambda^2 + \cdots + \lambda^n$

• $\lambda > 1$ $\Rightarrow$ $S_n \to +\infty$
• $|\lambda| < 1$ $\Rightarrow$ $S_n \to \dfrac{1}{1-\lambda}$
• $-\lambda \leq -1$ $\Rightarrow$ diverge

$e_n := \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \quad \text{(strictement croissante, } 2 \leq e_n \leq 3\text{)}$

Formes indeterminees

$\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $\infty/\infty$, $0/0$, $1^\infty$, $\infty^0$, $0^0$

→ extraire le terme dominant ; $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Thm : $\displaystyle\lim_{x \to 0}$ : $\dfrac{\sin x}{x} = 1$, $\dfrac{e^x - 1}{x} = 1$, $\dfrac{\log(x+1)}{x} = 1$, $\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

Equivalence : $a_n \sim b_n$ : $a_n/b_n \to 1$

• $\dfrac{a_n}{b_n} = e^{\log a_n - \log b_n}$ ; $a_n^{b_n} = e^{b_n \log a_n}$

Thm Bolzano–Weierstrass

Sous-suite : $(b_k) = (a_{n_k})$

Thm : de toute suite bornee, on peut extraire une sous-suite convergente. $(x_n) \in [a,b] \Rightarrow \exists L \in [a,b]$ et $\exists (x_{n_k}) \to L$

Suite de Cauchy

Une suite est de Cauchy si : $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{Z}$ t.q. $|a_n - a_m| \leq \varepsilon$ $\forall m, n \geq N$

(qd une suite converge, les termes sont proches les uns des autres)

Thm : dans $\mathbb{R}$ : convergente $\Leftrightarrow$ de Cauchy

Theoremes d’etudes

• Chien mechant : $a_n \to +\infty$ et $a_n \leq b_n$ $\Rightarrow$ $b_n \to +\infty$
• Deux gendarmes : $a_n \leq x_n \leq b_n$, $\lim a_n = \lim b_n = L$ $\Rightarrow$ $\lim x_n = L$
• Si $x_n$ bornee, $y_n \to 0$ $\Rightarrow$ $y_n x_n \to 0$
• Monotone + bornee : croissante + Maj ou decroissante + Min $\Rightarrow$ converge

Critere d’Alembert (suite) :

$\rho := \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

• $0 \leq \rho < 1$ $\Rightarrow$ $a_n \to 0$
• $\rho > 1$ $\Rightarrow$ $a_n$ diverge ; $\rho > 1$, $a_n > 0$ $\Rightarrow$ $a_n \to +\infty$

Comportement : $\log(n) \leq n^c \leq C^n$, $C \in \mathbb{R}$

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Chap IV — Suite de recurrence

Definition

Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}$ ; $(a_n)$ est definie par :

• son premier terme : $x_0 = a$
• par recurrence, $\forall n > 0$ : $x_{n+1} = g(x_n)$

Point fixe : $x_*$ est pt fixe si $g(x_*) = x_*$ ; si $x_0 = x_*$ $\Rightarrow$ suite cst.

Thm : si $x_{n+1} = g(x_n)$ est convergente et si $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continue, $\lim x_n = x_*$ (pt fixe de $g$) $\Rightarrow$ si $x_0 =$ pt fixe $\Rightarrow$ $x_0$ = la limite.

Methode 1 — observation

Ecrire les premiers termes et observer, verifier les observations.

Ex : $x_{n+1} = 1 + x_n/2$ :

• $x_0 > 2$ : decroissante, majoree
• $x_0 = 2$ : cst
• $x_0 < 2$ : croissante, minoree

$\Rightarrow$ les 2 cas bornes convergent ; comme $\exists L$, on remplace dans l’equ. :

$x_{n+1} = 1 + \frac{x_n}{2} \Rightarrow L = 1 + \frac{L}{2} \Rightarrow L = 2$

Methode 2 — expression explicite

On veut exprimer $x_n$ en fonction de $x_0$ (par recurrence).

Ex : $x_n = 2\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right) + \left(\tfrac{1}{2}\right)^n x_0 \to 2$

Methode 3 — suite de Cauchy

$|x_{k+1} - x_k| = \frac{1}{2}|x_k - x_{k-1}|$

$\forall n > m$ : $|x_n - x_m| \leq \sum \cdots \to 0$ $\forall x_0 \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ suite de Cauchy $\Rightarrow \exists L$ $\Rightarrow$ methode 1.

Graphique (cobweb)

Construction pour visualiser :

1. partir de $(x_n, 0)$
2. monter (v) au graphe $g$ : $(x_n, g(x_n)) = (x_n, x_{n+1})$
3. glisser (h) a $y = x$ pour $(x_{n+1}, x_{n+1})$
4. redescendre (v) a $(x_{n+1}, 0)$

Point fixe = intersection de $g$ et $y = x$

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Chap V — Series numeriques

Definition + proprietes

$\sum_n a_n = S_n := a_0 + a_1 + \cdots + a_n, \quad S_0 := a_0, \quad S_1 := a_0 + a_1, \quad \ldots$

$\Delta$ important : si non contradictoire ($1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$)

• converge : $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{n=0}^\infty a_n = S$ $\exists$

• diverge : $= \pm\infty$

• si $\sum_n a_n$ converge $\Rightarrow$ $a_n \to 0$ (pas $\Leftarrow$)

• si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent :

  • $\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n$
  • $\sum \lambda a_n = \lambda \sum a_n$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$

• la convergence depend d’un nombre fini de termes

$\sum_n \frac{1}{n^p}$

Thm : $p \in \mathbb{R}$ fixe : si $p > 1$ $\Rightarrow$ converge ; si $p \leq 1$ $\Rightarrow$ diverge.

Tres sensible : $\dfrac{1}{n^{1{,}00001}} < \infty$ ; $\dfrac{1}{n^{0{,}99999}} = \infty$

$\sum_n \lambda^n$

• si $|\lambda| < 1$ $\Rightarrow$ converge
• si non $\Rightarrow$ diverge

Serie telescopique

$\sum_{n \geq 1} (x_n - x_{n-1})$

Thm : si $x_n \to L$ $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge et vaut $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n - x_0) = L - x_0$

Serie dependant d’un parametre

$x \mapsto f(x) := \sum_{n \geq 1} a_n(x), \quad f : I \to \mathbb{R}$

$D(f) = \left\{x \in I \;\middle|\; \sum_{n \geq 1} a_n(x) \text{ converge}\right\}$

Ex : $f(x) = \sum_{n \geq 0} \cos(3^n x)/2^n$ $\Rightarrow$ $D(f) = \mathbb{R}$ : continue partout, derivable nulle part

Critere de Leibniz

Soit $a_n = (-1)^n x_n$, si :

1. $x_n \geq 0$
2. $x_n$ decroissant
3. $x_n \to 0$

$\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge

(diagramme : $S_0, S_1, S_2, \ldots$ oscillent en convergeant vers $S$)

Theoremes d’etude

Critere de comparaison : soit $0 \leq a_n \leq b_n$, $\forall n > N \in \mathbb{Z}$ :

• si $\sum b_n$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge
• si $\sum a_n$ diverge $\Rightarrow$ $\sum b_n$ diverge

Limite quotient : $a_n, b_n > 0$ $\forall n \geq N \in \mathbb{Z}$, $\exists \alpha := \displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}$ :

• si $\alpha > 0$ $\Rightarrow$ $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent ou divergent ensemble
• si $\alpha = 0$ et $\sum b_n$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge
• si $\alpha = +\infty$ et $\sum b_n$ diverge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ diverge

Critere de d’Alembert :

$\rho := \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \quad \exists \rho \text{ est } +\infty$

• si $\rho < 1$ $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge
• si $\rho > 1$ $\Rightarrow$ diverge
• si $\rho = 1$ $\Rightarrow$ ne dit rien

Critere de Cauchy :

$\sigma := \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

1. si $\sigma < 1$ $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge
2. si $\sigma > 1$ $\Rightarrow$ diverge

Convergence absolue

$\sum_n a_n$ converge absolument : $\sum |a_n|$ converge

Thm : $\sum |a_n|$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge

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Chap VI — Fonctions $\mathbb{R}$

Monotonie

$I \subset \mathbb{R}$, $f : I \to \mathbb{R}$

• croissante : $f(x) \leq f(x')$ $\forall x, x' \in I$, $x < x'$
• decroissante : $f(x) \geq f(x')$ $\forall x, x' \in I$, $x > x'$
• constante si les deux
• variant : trouver l’intervalle sur lequel $f'$ est croissante ou decroissante

Periodicite

$f$ est $t$-periodique : $t > 0$, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x+t) = f(x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$

$t$ min = la periode de $f = T$

Thm : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $T_f$ ; $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $T_g$ : si $T_f/T_g \in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow$ $f + g$ est periodique

Parite / Imparite

• paire : $f : D \to \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $f(-x) = f(x)$ $\forall x \in D$
• impaire : $f : D \to \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $f(-x) = -f(x)$ $\forall x \in D$
• montrer que non : contre-exemple

Thm : si $D$ est symetrique, toute fonction $f : D \to \mathbb{R}$ peut s’ecrire de maniere unique comme somme d’une fonction paire et d’une impaire

Convexite / Concavite

Intervalle $I$, $f : I \to \mathbb{R}$, $\forall \lambda \in [0,1]$, $x_1 < x_2$

• convexe : $\forall x_1, x_2 \in I$ : $f\bigl((1-\lambda)x_1 + \lambda x_2\bigr) \leq (1-\lambda)f(x_1) + \lambda f(x_2)$
• concave : si $-f$ est convexe

Thm : $f : D \to \mathbb{R}$ :

1. si $A \subset B \subset D$ $\Rightarrow$ $\sup_A f \leq \sup_B f$, $\inf_A f \geq \inf_B f$
2. $\sup(-f) = -\inf f$
3. $\sup(f+g) \leq \sup f + \sup g$
4. $\forall \alpha > 0$, $\beta \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $\sup(\alpha f + \beta) = \alpha \sup f + \beta$

Min / Max, Sup / Inf

$f : D \to \mathbb{R}$

• max (global) : $\exists x^* \in D$ t.q. $f(x) \leq f(x^*)$ $\forall x \in D$
• min (global) : $\exists x_0 \in D$ t.q. $f(x) \geq f(x_0)$ $\forall x \in D$
• majorant : $\exists M \in \mathbb{R}$ t.q. $f(x) \leq M$ $\forall x \in D$
• minorant : $\exists m \in \mathbb{R}$ t.q. $f(x) \geq m$ $\forall x \in D$
• bornee si les deux
• Sup $f$ = si majoree, le plus petit majorant ; sinon $+\infty$
• Inf $f$ = si minoree, le plus grand minorant ; sinon $-\infty$
• egal a Max/Min si ceux-ci existent

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Chap VII — Limites de fonctions

Voisinage epointe

$V = \,]x_0 - \alpha, x_0[\,\cup\,]x_0, x_0 + \alpha[, \quad \alpha > 0$

$f$ definie dans un voisinage si $\exists V$ t.q. $f(x)$ est defini $\forall x \in V$

Limite en un point

$f \to L \in \mathbb{R}$ quand $x \to x_0$ :

$\forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0 \text{ t.q. } |f(x) - L| \leq \varepsilon \text{ quand } 0 < |x - x_0| \leq \delta$

$\Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = L$

• si $\exists L$ $\Rightarrow$ unique

Car : $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ iff $\forall (a_n) \neq x_0$ et $a_n \to x_0$ : $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(a_n) = L$

→ montrer que la limite n’existe pas : utiliser des suites laterales ou des limites laterales differentes

Limite laterale

• $x \to x_0^+$ : dans $]x_0, x_0+\alpha[$
• $x \to x_0^-$ : dans $]x_0-\alpha, x_0[$

$\lim_{x\to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0^+} f(x) = \lim_{x\to x_0^-} f(x) = L$

Proprietes

$\lim(f \pm g) = \lim f \pm \lim g, \quad \lim(f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g, \quad f(x) \leq g(x) \Rightarrow \lim f \leq \lim g$

Deux gendarmes : $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ $\forall x \in V$, si $\lim g = \lim h = L$ $\Rightarrow$ $\lim f = L$

Limite infinie

$x \to x_0$, $\forall M > 0$, $\exists \delta > 0$ t.q. $f(x) \geq M$ quand $0 < |x - x_0| \leq \delta$

Si $f(x) \to \infty$ :

• $\lim_{x\to x_0} 1/f(x) = 0$
• $g \to \infty$ : $f + g = \infty$ et $f \cdot g = \infty$
• $g$ borne : $f + g = +\infty$, $g/f = 0$
• $g \to L \neq 0$ : $f \cdot g = +\infty$ si $L > 0$, $= -\infty$ si $L < 0$
• $\delta > 0$ t.q. $g \geq \delta$ $\forall x \in V$ $\Rightarrow$ $f \cdot g = +\infty$
• $g \geq f$ $\forall x \in V$ $\Rightarrow$ $g(x) \to +\infty$

Limites finies ($x \to \infty$)

$f : \text{Dom}(f) = ]a, +\infty[$ :

$\lim_{x\to\infty} f(x) = L : \forall \varepsilon > 0,\; \exists N > 0 \text{ t.q. } |f(x) - L| \leq \varepsilon \text{ quand } x \geq N$

Limites infinies ($f(x) \to \infty$)

$\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty \text{ iff } \forall M > 0,\; \exists N > 0 \text{ t.q. } f(x) \geq M \text{ des que } x \geq N$

Indetermine $0/0$

• polynomes $\to$ factorisation $(x - x_0)$
• methode du conjugue

Thm : $\displaystyle\lim_{x \to 0}$ :

$\frac{\sin x}{x} = 1, \quad \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\log(x+1)}{x} = 1, \quad \frac{e^x - 1}{x} = 1$

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Chap VIII — Continuite

Definition

$D \subset \mathbb{R}$ ouvert, $f : D \to \mathbb{R}$ continue en $x_0$ si :

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Si la limite n’existe pas ou est differente de $f(x_0)$, alors $f$ est discontinue.

Fonctions elementaires continues

• polynomes : continus sur $\mathbb{R}$
• $\sin$ et $\cos$ : continus sur $\mathbb{R}$ ; $\tan$ : continue sur $\mathbb{R} \setminus \{\pi/2 + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
• $a^x$, $\forall a > 0$ : continue sur $\mathbb{R}$
• $\log_a(x)$, $\forall a > 0$ : continue sur $\mathbb{R}^+_*$

Continuite laterale

• $f$ continue a gauche : $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
• $f$ continue a droite : $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

Thm : $f$ est continue ssi elle est continue a gauche et a droite.

Continuite sur un intervalle compact

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur :

• continue en tout $x_0 \in \,]a, b[$
• continue a droite en $x_0 = a$
• continue a gauche en $x_0 = b$

Thm : soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue $\Rightarrow$ $f$ est bornee.

Thm : $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue $\Rightarrow$ $f$ atteint son max et son min.

Valeurs intermediaires

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue, $f(a) < f(b)$ :

$\forall h : f(a) < h < f(b) \Rightarrow \exists c \in \,]a,b[ \text{ t.q. } f(c) = h$

$\Rightarrow$ un polynome a coefficients reels de degre impair possede au moins une racine reelle

Thm : $f : [a,b] \to \mathbb{R}$. Im$(f)$ est donnee par : $\text{Im}(f) = [\min f(x),\, \max f(x)]$

Prolongement

$x_0 \in I$, $I' := I \setminus \{x_0\}$ : si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ existe, alors on peut definir $f(x_0) := L$

Continuite et calcul de limite

$\lim f(g(x))$ avec $g(x) \to y_0$ et $f$ continue en $y_0$ :

$\lim f(g(x)) = f\!\left(\lim g(x)\right) = f(y_0)$

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